Ângulos e seus elementos

O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS

        Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.

       Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ângulos:

     Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas.

     O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.

Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.

•  As semi-retas   coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.

• As semi-retas  não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta.

Podemos, então, estabelecer que:

Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.

   

MEDIDA DE UM ÂNGULO

          A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.

          Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).

Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º.

O grau compreende os submúltiplos:

• O minuto corresponde a  do grau. Indica-se um minuto por 1'.

1º=60'

• O segundo corresponde a  do minuto. Indica-se um segundo por 1''.

1'=60''

Logo, podemos concluir que:

1º  =  60'.60 = 3.600''

Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.

Como medir um ângulo, utilizando o transferidor

Observe a seqüência

• O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo.
• A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do ângulo .
• Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta .

Leitura de um ângulo

Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:

                                      15º               (lê-se "15 graus'')

                                      45º50'          (lê-se ''45 graus e 50 minutos'')

                                     30º48'36''     (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')

Observações

Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação.

A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra minúsculaou de um número.

Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º.

O ângulo de uma volta mede 360º.

Questões envolvendo medidas de ângulos

Observe a resolução das questões abaixo:

• Determine a medida do ângulo AÔB na figura:

Solução       

Medida de AÔB = x

Medida de BÔC = 105º

Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:

              m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)

                                   x + 105º = 180º

                                             x   = 180º - 105º

                                             x   = 75º

Logo, a medida de AÔB é 75º.

• Determine a medida do 6angulo não-convexo na figura:

Solução

Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:

x + 50º = 360º

x = 360º - 50º

x = 310º

Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.Observe a seqüência utilizada na construção de um ângulo de 50º:

• Traçamos uma semi-reta .

• Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A).
• Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.

• Traçamos a semi-reta , obtendo o ângulo BÂC que mede 50º.

Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º  são ângulos especiais.

Eles podem ser desenhados com esquadro.

 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES

Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal.

Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:

• Transforme 30º em minutos.

Solução

Sendo 1º = 60', temos:

                30º = 30 . 60'= 1.800

'Logo, 30º = 1.800
   

• Transforme 5º35' em minutos.

Solução

                5º = 5 . 60' = 300'

                300' +  35'= 335'

Logo, 5º35'= 335'.
   

• transforme 8º em segundos.

Solução

Sendo 1º = 60', temos:

               8º = 8 . 60'= 480

'Sendo 1'= 60'', temos:

                480'= 480 . 60'' = 28.800''

Logo, 8º = 28.800''.
   

• Transforme 3º35' em segundos.

Solução

                3º = 3 . 60'= 180'

                180' +  35' = 215'

                215' .  60''  = 12.900''

Logo, 3º35'= 12.900''

• Transforme 2º20'40'' em segundos.

Solução

                 2º = 2 . 60' = 120'

                 120' + 20'  = 140'

                  140'. 60''= 8.400''

                  8.400'' + 40'' = 8.440''

Logo, 2º20'40'' = 8.440''